「勉強」一覧

「虚数の情緒」買って読んでるよ！

2025/10/19 勉強

前、弐号さんに教えてもらったこの本、ついに買ってしまいました！

詰めチャレが１級に届いたから自分へのプレゼントにどうかなと思って。

５０００円弱したけどｗ

そもそも、めっちゃ分厚いｗ

１０００ページ超え。

まだ６０ページくらいしか読めてないけどすごい面白い。

最初は数学の話なんてほとんど出てこなくて、歴史の話とか元号だとか、なんか色々雑学？

雑学というと著者に失礼だな。

整理された知識体系とでも言おうか。

ここまでで出てきた公式はただ一つ。

ニュートンの万有引力の公式くらいかな。

$\mathbf{F} = -G \frac{m m'}{r^2} \frac{\mathbf{r}}{r}$
これ、２つの物体の質量の乗算に比例し、距離の２乗に反比例するってことはわかったけど、

$\frac{\mathbf{r}}{r}$
が意味不明。

geminiに聞いたら、「単位ベクトル」だって。１だから気にすんなって。いまいちわからんけどｗ

弐号さん、いい本教えてくれてありがとう！

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オイラーの公式より美しい式

2025/9/13 2025/10/19 勉強

オイラーの公式っていう有名な式があります。
一般的にはこれのことを言う？（数学天才児に聞いたら、「オイラーは色んな公式作ってるから一つに絞れへん」と言われましたがｗ）
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

ですがぼくは、この数式より、オイラーの等式と言われる
$e^{i\pi} + 1 = 0$
の方がずっと美しいと思います。

ただ、よく考えると
$e^{i\pi} = -1$ は、複素平面上で「 $e$ を原点から反時計回りに $\pi$ （180度）回転させると、実数軸上の $-1$ という点にたどり着く」
ということになるから、なんか当たり前のようなことにも思えるんだけど。

高３のとき、数学の塾の先生に教えてもらった式ですが、初めて見たときはド肝を抜かれました。
だって、数学上重要な要素、 $e,i,\pi$ の３つが、こんな綺麗につながってるんですよ！
ほんとに神っているんだろうなぁとまで思ってしまいました。

ちなみにこの式は、オイラーの公式に、
$\theta$ （シータ）の代わりに $\pi$ （パイ）を代入したら導きだすことができます。

$e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi$
ここで、 $\cos\pi = -1$ と $\sin\pi = 0$ です。これらの値を代入すると、以下のようになります。

$e^{i\pi} = -1 + i(0)$
この式をさらに整理すると、 $e^{i\pi} + 1 = 0$ となります。

あと、オイラーの公式の証明
テイラー級数展開を使って証明できます。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$e^x$ の $x$ を $i\theta$ に置き換えると、以下のようになります。

$e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots$ $= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \cdots$ $= \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)$

$= \cos\theta + i\sin\theta$

これにより、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ が証明されます。

で、数学天才児に、
ぼく「で、証明もなんとなくわかるけど、どこがオイラーのすごいところなん？」
数学天才児「あの時代に、 $x$ のところに $i\theta$ 代入すること思いついたとこちゃう？そもそも、虚数を代入するには、何かを定義せなあかんし。それに、当時、テイラー展開自体もまだ発表されたばっかりで云々」

へー！
$i\theta$ 代入することを思いついたからオイラーはすごいのか！
オイラーって１７０７年～１７８３年生存。
テイラー級数展開が発表されたのが１７１５年。

ふーん。よくわからんけど、すごいんだな。やっぱ。

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